Question

如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發(fā)，沿線段AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s．當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）連接AQ、CP，相交于點M，如圖2，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當∠PQB=90°時，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；
②當∠BPQ=90°時，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=；
∴當?shù)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png' />秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

（2）∠CMQ=60°不變．
在△ABQ與△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
分析：（1）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；
（2）∠CMQ=60°不變．通過證△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質．等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．