Question

（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，延長BF交CD邊于點(diǎn)G，則FG=DG，求出此時(shí)DG的值；
（2）如圖2，矩形ABCD中，AD＞AB，AB=1，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，同樣將△ABE沿BE翻折得到△FBE，延長BF交CD邊于點(diǎn)G．
①證明：FG=DG；
②若點(diǎn)G恰是CD邊的中點(diǎn)，求AD的值；
③若△ABE與△BCG相似，求AD的值．

Answer 1

（1）解：設(shè)DG為x，
由題意得：BG=1+x，CG=1-x，
由勾股定理得：BG²=BC²+CG²，
有：（1+x）²=1²+（1-x）²，
解得：．
∴DG=；

（2）①證明：連接EG，
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴AE=FE，∠EFB=∠EAB=90°，
∴∠EFG=∠EDG=90°．
∵AE=DE，
∴FE=DE．
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）．
∴DG=FG；

②解：若G是CD的中點(diǎn)，則DG=CG=，
在Rt△BCG中，，
∴AD=．

③解：由題意AB∥CD，
∴∠ABG=∠CGB．
∵△FBE是由△ABE翻折得到的，
∴∠ABE=∠FBE=∠ABG，
∴∠ABE=∠CGB．
∴若△ABE與△BCG相似，則必有∠ABE=∠CBG=30°．
在Rt△ABE中，AE=ABtan∠ABE=，
∴AD=2AE=．
分析：（1）首先設(shè)DG為x，則由正方形的性質(zhì)即可求得BG與CG的值，利用勾股定理構(gòu)造方程，解方程即可求得DG的值；
（2）①首先連接EG，由△FBE是由△ABE翻折得到的，利用HL，即可求得Rt△EFG≌Rt△EDG，則可證得DG=FG；
②由G是CD的中點(diǎn)，得到DG與CG的值，在Rt△BCG中，利用勾股定理即可求得AD的長；
③由平行線與翻折變換的性質(zhì)，易得：∠ABE=∠CGB，又由相似三角形的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得AD的值．
點(diǎn)評：此題考查了翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．