Question

（2013•大興區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求出AC的函數(shù)解析式；
（2）利用軸對稱求最短路徑的知識，找到N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，連接N'D，N'D與直線x=3的交點即是點M的位置，繼而求出m的值．
（3）設(shè)出點E的坐標(biāo)，分情況討論，①當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出F的坐標(biāo)，將點F的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出x的值，繼而求出點E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3），可得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
故拋物線為y=-x²+2x+3，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+n，將點A（-1，0）、C（2，3）代入得：

-k+n=0 2k+n=3

，
解得：

k=1 n=1

，
故直線AC為y=x+1．

（2）作N點關(guān)于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x+

21

5

，
當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，
則m=-

1

5

×3+

21

5

=

18

5

．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
點E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），
①當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
則點E的坐標(biāo)為：（0，1）．
②當(dāng)點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），
∵點F在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
即點E的坐標(biāo)為：（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）
綜上可得滿足條件的點E為E（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱求最短路徑及平行四邊形的性質(zhì)，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識融會貫通．