【題目】如圖1,在ABC中,ACB=90°,AC=BC,EAC=90°,點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

(1)直接寫出NDE的度數(shù);

(2)如圖2、圖3,當(dāng)EAC為銳角或鈍角時(shí),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請說明理由;

(3)如圖4,若EAC=15°,ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD= ,其他條件不變,求線段AM的長.

【答案】(1)NDE=90°;(2)不變;(3)

【解析】

試題分析:(1)證明MAC≌△NBC即可;

(2)與(1)的證明方法相似,證明MAC≌△NBC即可;

(3)作GKBC于K,證明AM=AG,根據(jù)MAC≌△NBC,得到BDA=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出AG的長,得到答案.

試題解析:(1)∵∠ACB=90°,MCN=90°,∴∠ACM=BCN,在MAC和NBC中,AC=BC,ACM=BCN,MC=NC∴△MAC≌△NBC,∴∠NBC=MAC=90°,又∵∠ACB=90°,EAC=90°,∴∠NDE=90°;

(2)不變,在MAC≌△NBC中,AC=BC,ACM=BCN,MC=NC,∴△MAC≌△NBC,∴∠N=AMC,又∵∠MFD=NFC,MDF=FCN=90°,即NDE=90°;

(3)作GKBC于K,∵∠EAC=15°,∴∠BAD=30°,∵∠ACM=60°,∴∠GCB=30°,∴∠AGC=ABC+GCB=75°,AMG=75°,AM=AG,∵△MAC≌△NBC,∴∠MAC=NBC,∴∠BDA=BCA=90°,BD=,AB=,AC=BC=,設(shè)BK=a,則GK=a,CK=,,a=1,KB=KG=1,BG=,AG=,AM=

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(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)M在邊AD的延長線上時(shí),如圖①,求證:AB+BE=AM;

(提示:延長MF,交邊BC的延長線于點(diǎn)H.)

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長線上,點(diǎn)M在邊AD上時(shí),如圖②;當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長線上,點(diǎn)M在邊AD上時(shí),如圖③.請分別寫出線段AB,BE,AM之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;

(3)在(1),(2)的條件下,若BE=,AFM=15°,則AM=

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(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;

(2)若點(diǎn)P在線段AB上.

①如圖2,連接AC,當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí),判斷△ACE的形狀,并說明理由;

②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當(dāng)EP平分∠AEC時(shí),求a:b及∠AEC的度數(shù).

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