Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點G是邊BC的中點，連接AG．將△ABC沿AG對折至△AFG，延長GF交邊CD于點E，連接AE、CF．下列結論：①△AFE≌△ADE；②EC=2DE；③S_△EFC=2；④∠BAG+∠AFC=180°．其中正確結論的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據翻折變換的性質和正方形的性質可證Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根據勾股定理求出DE的長，通過三角形面積得出S_△GFC：S_△FCE=3：2，
由平行線的判定可得AG∥CF；進而得出∠AFC+∠BAG=180°求出即可．
解答：①因為AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，故此選項正確；
②因為：EF=DE，設DE=FE=x，則CG=3，EC=6-x．
在直角△ECG中，根據勾股定理，得：
（6-x）²+9=（x+3）²，
解得x=2．
則DE=2．
則EC=4，
故EC=2DE，故此選項正確；
③∵S_△GCE=GC•CE=×3×4=6，
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=×6=≠2．
故此選項不正確．
④∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∵∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，
∴∠GAF+∠AFC=180°，
∵∠BAG=∠GAF，
∴∠AFC+∠BAG=180°，故此選項正確；
故正確的有3個．
故選：C．
點評：本題考查了翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．