Question

已知一條拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，直線CD的解析式為y=x+3，并且線段CD的長(zhǎng)為。
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，求線段AB的長(zhǎng)；
（3）若以AB為直徑作⊙M，請(qǐng)你判斷直線CD與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）由題得C（0，3），設(shè)頂點(diǎn)D（x，y），∵點(diǎn)D在直線y=x+3上，∴D（x，x+3），得
解得
∴D（3，6）或（-3，0），當(dāng)D（3，6）時(shí)，設(shè)拋物線為

∵拋物線過(guò)（0，3）點(diǎn)，∴
當(dāng)（-3，0）時(shí)，同理可得
∴所求拋物線為：
（2）∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，y=不合題意，舍去。
拋物線應(yīng)為：，
令y=0，得，
解得，
∵點(diǎn)A在B的左側(cè)，∴A（，0），B（，0），

（3）直線CD與⊙M相切，⊙M的半徑，M（3，0），
設(shè)直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)E，則E（-3，0），ME=6，
∴OE=OC，
∴∠OEC=45°，
作MG⊥CD于G，則CE=CM，
得，，
即圓心M到直線CD的距離等于⊙M的半徑，
∴直線CD與⊙M相切