Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標軸于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線另一個交點為E．

（1）請直接寫出點C，D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c，拋物線過（0，1）（3，2）（1，3），

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

，
∴y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）①當點A運動到x軸上時，t=1，
當0＜t≤1時，如圖1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=

OA

OF

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

FB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t
∴S_△FB′G=

1

2

FB′×GB′
=

1

2

×

5

t×

5 t

2

=

5

4

t²；
②當點C運動到x軸上時，t=2，
當1＜t≤2時，如圖2，
A′B′=AB=

22+12

=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5 t

2

，
∴S_{梯形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）×A′B′
=

1

2

(

5 t- 5

2

+

5 t

2

)×

5

=

5

2

t-

5

4

；
③當點D運動到x軸上時，t=3，
當2＜t≤3時，如圖3，
∵A′G=

5 t- 5

2

，
∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴

S△GD′H

S△AOF

=(

GD′

OA

)2，
∴S△GD′H=(

3 5 - 5 t

2

)2，
∴S_{五邊形GA′B′C′H}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

)2
=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3

5

，
∴S_陰影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}
=AD×AA′=

5

×3

5

=15．