Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝，AB＝4，BC＝6，AD＝8．點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒．

(1)動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？

(2)當(dāng)0＜t＜2時(shí)，求證：以PQ為直徑的圓與AD相切(如圖2)；

(3)以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵當(dāng)P到C時(shí)，t＝＝5(秒)；當(dāng)Q到D時(shí)，t＝8(秒)．∴點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)，此時(shí)t為5秒; 　　(2)作BE⊥DA于點(diǎn)E，則BE＝2，∠A＝，∠ABE＝．當(dāng)0＜t＜2時(shí)，取AP中點(diǎn)F，連FQ，則△AFQ為等邊三角形．∴FP＝FA＝FQ，∴∠AQP＝．∴以PQ為直徑的圓與AD相切．另解，過(guò)B作BE⊥DA于點(diǎn)E，則AE＝2，＝．當(dāng)0＜t＜2時(shí)，＝＝．∴＝．∴PQ∥BE．∴∠PQA＝∠BEA＝，∴以PQ為直徑的圓與AD相切; 　　(3)當(dāng)0＜t＜2時(shí)，以PQ為直徑的圓與CD不可能相切．當(dāng)2≤t≤5時(shí)，設(shè)以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)K．則有PC＝10－2t，DQ＝8－t，OK⊥DC．∴OK是梯形PCDQ的中位線(xiàn)，∴PQ＝2·OK＝PC＋DQ＝18－3t．在直角梯形PCDQ中，PQ2＝CD2＋(DQ－PC)2，即(18－3t)2＝(2)2＋(t－2)2，2t2－26t＋77＝0．解之，得t＝．∵＞5，2＜≈4.56＜5，∴當(dāng)t＝時(shí)，以PQ為直徑的圓與CD相切．另解：設(shè)以PQ為直徑的⊙O與CD相切于點(diǎn)K．⊙O交AD于點(diǎn)Q、H．則DK＝，DH＝CP＝10－2t，DQ＝8－t．由切割線(xiàn)定理，得DK2＝DH·DQ．即()2＝(10－2t)(8－t)．(以下與上面解法相同)