Question

【題目】已知點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點(不與點A，B重合)，分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，點Q為斜邊AB的中點．

(1)如圖①，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是________，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是________；

(2)如圖②，當(dāng)點P在線段AB上且不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(溫馨提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

Answer 1

【答案】(1)AE∥BF,QE＝QF;(2) QE=QF，理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)AAS推出△AEQ和△BFQ全等即可得出答案；(2)、延長EQ交BF于D，求出△AEQ和△BDQ全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點性質(zhì)得出即可．

試題解析：(1)、如圖1,

當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE=QF,
理由：∵Q為AB的中點， ∴AQ=BQ， ∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，

∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，∴△AEQ≌△BFQ， ∴QE=QF；
(2)、QE=QF證明：如圖2，延長EQ交BF于D,

∵由(1)知：AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， ∴△AEQ≌△BDQ， ∴EQ=DQ，

∵∠BFE=90°， ∴QE=QF．