已知:如圖,直線與x軸相交于點A,與直線相交于點P.動點E從原點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著OPA的路線向點A勻速運動(E不與點O,A重合),過點E分別作EF⊥x軸于F,EB⊥y軸于B.設運動t秒時,矩形EBOF與△OPA重疊部分面積為S.

(1)求點P的坐標;

(2)請判斷△OPA的形狀并說明理由;

(3)請?zhí)骄縎與t之間的函數(shù)關系式,并指出t的取值范圍.

 

【答案】

(1);

(2)等邊三角形;理由見解析;

(3)

【解析】

試題分析:(1)由兩直線相交可列出方程組,求出P點坐標;

(2)將y=0代入,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4.可知△POA是等邊三角形;

(3)①當0<t≤4時,在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,則EF=,OF=,則S=•OF•EF=;

②當4<t<8時,設EB與OP相交于點C,易知:CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,可得AF=4﹣,EF=(8﹣t),有OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣)=,S=(CE+OF)•EF=﹣+4t﹣8

試題解析:(1)由題意可得:,

解得,

所以點P的坐標為(2,);

(2)將y=0代入y=﹣x+4,得到:﹣x+4=0,

∴x=4,即OA=4,

作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2,

∵tan∠POA==,

∴∠POA=60°,

∵OP=,

∴△POA是等邊三角形;

(3)①當0<t≤4時,如圖,在Rt△EOF中,

∵∠EOF=60°,OE=t,

∴EF=,OF=,

∴S=•OF•EF=

②當4<t<8時,如圖,設EB與OP相交于點C,

∵CE=PE=t﹣4,AE=8﹣t,

∴AF=4﹣,EF=(8﹣t),

∴OF=OA﹣AF=4﹣(4﹣)=,

∴S=(CE+OF)•EF=(t﹣4+t)×(8﹣t)=

考點:一次函數(shù)綜合題.

 

練習冊系列答案
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1. (1) 試判斷DC與⊙O的位置關系?并說明理由.

2.(2) 若DC=4,DA=2,求⊙O的直徑.

 

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