Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．

（1）先作∠ACB的平分線；設(shè)它交AB邊于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）證明：AC是所作⊙O的切線；

（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：

作圖—復(fù)雜作圖；切線的判定．

分析：

（1）根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC，進(jìn)而得出⊙O；

（2）根據(jù)切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；

（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系求出AC，EO的長，即可得出答案．

解答：

（1）解：如圖所示：

（2）證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，

∵FC平分∠ACB，

∴OB=OE，

∴AC是所作⊙O的切線；

（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，

∴∠A=30°，

∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°，

∵BC=，

∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，

∴△AOC的面積為：×AC×OE=×2×1=．

點(diǎn)評：

此題主要考查了復(fù)雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識，正確把握切線的判定定理是解題關(guān)鍵．