如圖,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°.
(1)先作∠ACB的平分線;設(shè)它交AB邊于點(diǎn)O,再以點(diǎn)O為圓心,OB為半徑作⊙O(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)證明:AC是所作⊙O的切線;
(3)若BC=,sinA=
,求△AOC的面積.
考點(diǎn):
作圖—復(fù)雜作圖;切線的判定.
分析:
(1)根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC,進(jìn)而得出⊙O;
(2)根據(jù)切線的判定定理求出EO=BO,即可得出答案;
(3)根據(jù)銳角三角函數(shù)的關(guān)系求出AC,EO的長(zhǎng),即可得出答案.
解答:
(1)解:如圖所示:
(2)證明:過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E,
∵FC平分∠ACB,
∴OB=OE,
∴AC是所作⊙O的切線;
(3)解:∵sinA=,∠ABC=90°,
∴∠A=30°,
∴∠ACB=∠OCB=ACB=30°,
∵BC=,
∴AC=2,BO=tan30°BC=
×
=1,
∴△AOC的面積為:×AC×OE=
×2
×1=
.
點(diǎn)評(píng):
此題主要考查了復(fù)雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí),正確把握切線的判定定理是解題關(guān)鍵.
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