Question

【題目】小明在學習過程中，對教材中的一個有趣問題做如下探究：

（習題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點.求證：；

（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長線于點，其反向延長線與邊的延長線交于點，則與還相等嗎？說明理由；

（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點，使得，的平分線交于點.的外角的平分線所在直線與的延長線交于點.直接寫出與的數(shù)量關系.

Answer 1

【答案】[習題回顧]證明見解析；[變式思考] 相等，證明見解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，證明見解析．

【解析】

[習題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；

[變式思考]根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；

[探究延伸]根據(jù)角平分線的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．

[習題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分線，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；

[變式思考]相等，理由如下：
證明：∵AF為∠BAG的角平分線，
∴∠GAF=∠DAF，

∵∠CAE=∠GAF，

∴∠CAE=∠DAF，
∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，

∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；

[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
證明：∵C、A、G三點共線AE、AN為角平分線，
∴∠EAN=90°，

又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．