(2013•攀枝花)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,點(diǎn)B(10,0),C(7,4).直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A,D兩點(diǎn),且sin∠DAB=
2
2
.動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿B→C→D的方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸,與折線(xiàn)A→D→C相交于點(diǎn)M,當(dāng)P,Q兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(t>0),△MPQ的面積為S.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-4,0)
(-4,0)
,直線(xiàn)l的解析式為
y=x+4
y=x+4
;
(2)試求點(diǎn)Q與點(diǎn)M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍;
(3)試求(2)中當(dāng)t為何值時(shí),S的值最大,并求出S的最大值;
(4)隨著P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)PM的延長(zhǎng)線(xiàn)與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)N,試探究:當(dāng)t為何值時(shí),△QMN為等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.
分析:(1)利用梯形性質(zhì)確定點(diǎn)D的坐標(biāo),利用sin∠DAB=
2
2
特殊三角函數(shù)值,得到△AOD為等腰直角三角形,從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo);由點(diǎn)A、點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)l的解析式;
(2)解答本問(wèn),需要弄清動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程:
①當(dāng)0<t≤1時(shí),如答圖1所示;
②當(dāng)1<t≤2時(shí),如答圖2所示;
③當(dāng)2<t<
16
7
時(shí),如答圖3所示.
(3)本問(wèn)考查二次函數(shù)與一次函數(shù)在指定區(qū)間上的極值,根據(jù)(2)中求出的S表達(dá)式與取值范圍,逐一討論計(jì)算,最終確定S的最大值;
(4)△QMN為等腰三角形的情形有兩種,需要分類(lèi)討論,避免漏解.
解答:解:(1)∵C(7,4),AB∥CD,
∴D(0,4).
∵sin∠DAB=
2
2
,
∴∠DAB=45°,
∴OA=OD=4,
∴A(-4,0).
設(shè)直線(xiàn)l的解析式為:y=kx+b,則有
b=4
-4k+b=0

解得:k=1,b=4,
∴y=x+4.
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),直線(xiàn)l的解析式為:y=x+4.

(2)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中:
①當(dāng)0<t≤1時(shí),如答圖1所示:

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F,則CF=4,BF=3,由勾股定理得BC=5.
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸于點(diǎn)E,則BE=BQ•cos∠CBF=5t•
3
5
=3t.
∴PE=PB-BE=(14-2t)-3t=14-5t,
S=
1
2
PM•PE=
1
2
×2t×(14-5t)=-5t2+14t;
②當(dāng)1<t≤2時(shí),如答圖2所示:

過(guò)點(diǎn)C、Q分別作x軸的垂線(xiàn),垂足分別為F,E,
則CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t-5)=16-7t,
S=
1
2
PM•PE=
1
2
×2t×(16-7t)=-7t2+16t;
③當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q相遇時(shí),DM+CQ=CD=7,
即(2t-4)+(5t-5)=7,解得t=
16
7

當(dāng)2<t<
16
7
時(shí),如答圖3所示:

MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,
S=
1
2
PM•MQ=
1
2
×4×(16-7t)=-14t+32.

(3)①當(dāng)0<t≤1時(shí),S=-5t2+14t=-5(t-
7
5
2+
49
5
,
∵a=-5<0,拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t=
7
5

∴當(dāng)0<t≤1時(shí),S隨t的增大而增大,
∴當(dāng)t=1時(shí),S有最大值,最大值為9;
②當(dāng)1<t≤2時(shí),S=-7t2+16t=-7(t-
8
7
2+
64
7
,
∵a=-7<0,拋物線(xiàn)開(kāi)口向下,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t=
8
7

∴當(dāng)t=
8
7
時(shí),S有最大值,最大值為
64
7
;
③當(dāng)2<t<
16
7
時(shí),S=-14t+32
∵k=-14<0,
∴S隨t的增大而減。
又∵當(dāng)t=2時(shí),S=4;
當(dāng)t=
16
7
時(shí),S=0,
∴0<S<4.
綜上所述,當(dāng)t=
8
7
時(shí),S有最大值,最大值為
64
7


(4)△QMN為等腰三角形,有兩種情形:
①如答圖4所示,點(diǎn)M在線(xiàn)段CD上,
MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,MN=DM=2t-4,
由MN=MQ,得16-7t=2t-4,解得t=
20
9
;

②如答圖5所示,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),同時(shí)當(dāng)Q剛好運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D,
此時(shí)△QMN為等腰三角形,t=
12
5

故當(dāng)t=
20
9
或t=
12
5
時(shí),△QMN為等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):本題是典型的運(yùn)動(dòng)型綜合題,難度較大,解題關(guān)鍵是對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程有清晰的理解.第(3)問(wèn)中,考查了指定區(qū)間上的函數(shù)極值,增加了試題的難度;另外,分類(lèi)討論的思想貫穿(2)-(4)問(wèn)始終,同學(xué)們需要認(rèn)真理解并熟練掌握.
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