Question

【題目】四邊形ABCD為菱形，點P為對角線BD上的一個動點．

（1）如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點E，連接 PC，求證：∠AEB=∠PCD．
（2）如圖1，當PA=PD且PC⊥BE時，求∠ABC的度數．
（3）連接AP并延長交射線BC于點E，連接 PC，若∠ABC=90°且△PCE是等腰三角形，求∠PEC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠PDA=∠PDC，AD=CD AD∥BC，

在△PAD與△PCD中，

，

∴△PAD≌△PCD（SAS），

∴∠PAD=∠PCD，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD

（2）

解：如圖1，

（方法一）∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA，

設∠PAD=∠PDA=x，則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x

∵PC⊥BE

∴2x+x=90°，

∴x=30°，

∴∠ABC=2x=60°；

（方法二）：延長CP交AD于M，

∵AD∥BC，PC⊥BC，

∴CM⊥AD

∵PA=PD，

∴△PAM≌△PDM （HL），

∴AM=DM，

∴CM垂直平分AD

連接AC，則AC=CD=BC=AB，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°

（3）

解：①當點E在BC的延長線上時，如圖2，

△PCE是等腰三角形，則CP=CE，

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP與△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP

∵∠BAP+∠PEC=90°，2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②當點E在BC上時，如圖3，

△PCE是等腰三角形，則PE=CE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°，2∠BCP+∠BCP=90°

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°﹣∠AEB=120°，

綜上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°．

【解析】（1）利用菱形的性質，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理證得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性質及平行線的性質得到結論；（2）方法一，首先利用等腰三角形的性質得∠PAD=∠PDA，設∠PAD=∠PDA=x，利用外角性質易得∠BPC=2x，因為PC⊥BE，得x，得∠ABC的度數；方法二，利用平行線的性質易得CM⊥AD，由全等三角形的判定得△PAM≌△PDM，得AM=DM，由垂直平分線的性質得AC=CD=BC=AB，得△ABC是等邊三角形，得∠ABC的度數；（3）分類討論：①當點E在BC的延長線上時，首先利用等腰三角形的性質得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性質得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因為∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度數；②當點E在BC上時，同理得出結論．
【考點精析】利用菱形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．