Question

如圖7,在銳角ΔABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的三等分點,P、Q、R分別是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中線的交點.(1)求ΔDEF與ΔABC的面積比;(2)求ΔPDF與ΔADF 的面積比;(3)求多邊形PDQERF與ΔABC 的面積比.

Answer 1

(1)如圖1,過點D作DG⊥BC于G,過點A作AH⊥BC于H,則DG∥AH,所以ΔBDG∽ΔBAH,又,BE=BC,

所以DG=AH,S_ΔBDE=S_ΔABC,

同理S_ΔADF=S_ΔCEF=S_ΔABC

所以S_ΔDEF=S_ΔABC-S_ΔADF-S_ΔCEF=S_ΔABC.

(2)分別延長DP,FP交AF,AD于M,N,因為點P是ΔADF的三條中線的交點,

所以M,N分別是AF,AD的中點,且DP=DM,

過點P,M分別作DF的垂線,垂足分別為K,S,則ΔDKP∽ΔDSM,相似比為2∶3,所以KP=SM,

S_ΔPDF=S_ΔMDF,

又S_ΔMDF=S_ΔADF,得

S_ΔPDF=S_ΔADF.

(3)由(2)知,

S_ΔQDE=S_ΔBDE,S_ΔREF=S_ΔCEF,

所以S_ΔPDF=S_ΔQDE=S_ΔREF=S_ΔABC.

所以S_PDQERF=S_ΔDEF+S_ΔPDF+S_ΔQDE+S_ΔREF=S_ΔABC.