Question

（2011•南寧）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點A（3，0）、B（0，-3），點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設點P的橫坐標為t．
（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．
（2）若點P在第四象限，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積．
（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，-3）分別代入y=x²+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；
（2）設點P的坐標是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），用P點的縱坐標減去M的縱坐標得到PM的長，即PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到
當t=-

3

2×(-1)

=

3

2

時，PM最長為

0-9

4×(-1)

=

9

4

，再利用三角形的面積公式利用S_△ABM=S_△BPM+S_△APM計算即可；
（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有

9

4

，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．

解答：解：（1）把A（3，0）B（0，-3）代入y=x²+mx+n，得

0=9+3m+n -3=n

解得

m=-2 n=-3

，
所以拋物線的解析式是y=x²-2x-3．
設直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（3，0）B（0，-3）代入y=kx+b，得

0=3k+b -3=b

，
解得

k=1 b=-3

，
所以直線AB的解析式是y=x-3；

（2）設點P的坐標是（t，t-3），則M（t，t²-2t-3），
因為p在第四象限，
所以PM=（t-3）-（t²-2t-3）=-t²+3t，
當t=-

3

2×(-1)

=

3

2

時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為

0-9

4×(-1)

=

9

4

，
則S_△ABM=S_△BPM+S_△APM=

1

2

×

9

4

×3=

27

8

．

（3）存在，理由如下：
∵PM∥OB，
∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，
①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有

9

4

，所以不可能有PM=3．
②當P在第一象限：PM=OB=3，（t²-2t-3）-（t-3）=3，解得t₁=

3+ 21

2

，t₂=

3- 21

2

（舍去），所以P點的橫坐標是

3+ 21

2

；
③當P在第三象限：PM=OB=3，t²-3t=3，解得t₁=

3+ 21

2

（舍去），t₂=

3- 21

2

，所以P點的橫坐標是

3- 21

2

．
所以P點的橫坐標是

3+ 21

2

或

3- 21

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，然后根據(jù)解析式表示點的坐標，再利用坐標表示線段的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求線段的最大值．同時考查了平行四邊形的判定定理以及一元二次方程的解法．