Question

如圖，已知C，D是雙曲線（x＞0）上的兩點(diǎn)，直線CD分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），連接OC，OD（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C，D的坐標(biāo)和m的值；
（2）雙曲線存在一點(diǎn)P，使得△POC和△POD的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下判斷點(diǎn)P是否為△OCD的重心．
（4）已知點(diǎn)Q（-2，0），問(wèn)在直線AC上是否存在一點(diǎn)M使△MOQ的周長(zhǎng)L取得最短？若存在，求出L的最小值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，
則CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y₁=3x₁，
又∵OC=，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，3）．
又點(diǎn)C在雙曲線上，可得：m=3，
過(guò)D作DH⊥y軸于H，則DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即y₂=3x₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不符合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（3，1）；

（2）雙曲線上存在點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD，
這個(gè)點(diǎn)就是∠COD的平分線與雙曲線的交點(diǎn)，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∵點(diǎn)D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴點(diǎn)P在∠COD的平分線上，
則∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．

（3）延長(zhǎng)OP交CD于M，
∵C（1，3），D（3，1），
∴根據(jù)勾股定理OC=OD=，
∵點(diǎn)P在∠COD的平分線上，
∴M為CD中點(diǎn)，
∴M（2．，2），
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴OP=，PM==-+2
即OP≠2PM，
∴P不是△OCD的重心．

（4）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（1，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（3，1），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
則有，解得．
∴直線CD的解析式為y=-x+4，
∵Q（-2，0），假設(shè)存在M（a，-a+4），則點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′為（a，4-a），
∴△MOQ的周長(zhǎng)L=2+
=2+，
所以當(dāng)a=1時(shí)，周長(zhǎng)L取最小值為2+3，
此時(shí)點(diǎn)M（1，3），故L取最小值為2+3．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的長(zhǎng)，就得到C點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)的解析式．過(guò)D作DH⊥y軸于H，則DH=y₂，OH=x₂，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y₂=3x₂，由x₂y₂=3解得DH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OH，得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）雙曲線上存在點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD，這個(gè)點(diǎn)就是∠COD的平分線與雙曲線的交點(diǎn)，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD．
（3）根據(jù)點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離即可判斷是否為三角形△OCD的重心；
（4）先求出直線CD的解析式，表示出△MOQ的周長(zhǎng)L，根據(jù)配方法即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形及三角形的重心等知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及角平分線的性質(zhì)．