Question

如圖，已知直角坐標系中四點A（-2，4），B（-2，0），C（2，-3），D（2，0）、設P是x軸上的點，且PA、PB、AB所圍成的三角形與PC、PD、CD所圍成的三角形相似，請寫出所有符合上述條件的點P的坐標：    ．

Answer 1

【答案】分析：此題需要分情況分析，當點P在AB左邊，在AB與CD之間，在CD的右邊，通過相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例即可求得．
解答：解：設OP=x（x＞0），分三種情況：
一、若點P在AB的左邊，有兩種可能：
①此時△ABP∽△PDC，則PB：CD=AB：PD，
則（x-2）：3=4：（x+2）
解得x=4，
∴點P的坐標為（-4，0）；
②若△ABP∽△CDP，則AB：CD=PB：PD，
則（x-2）：（x+2）=4：3
解得：x=-14
不存在．

二、若點P在AB與CD之間，有兩種可能：
①若△ABP∽△CDP，則AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（x+2）：（2-x）
解得：x=，
∴點P的坐標為（，0）；
②若△ABP∽△PDC，則AB：PD=BP：CD，
∴4：（2-x）=（x+2）：3，
方程無解；

三、若點P在CD的右邊，有兩種可能：
①若△ABP∽△CDP，則AB：CD=BP：PD，
∴4：3=（2+x）：（x-2），
∴x=14，
∴點P的坐標為（14，0），
②若△ABP∽△PDC，則AB：PD=BP：CD，
∴4：（x-2）=（x+2）：3，
∴x=4，
∴點P的坐標為（4，0）；
∴點P的坐標為（，0）、（14，0）、（4，0）、（-4，0）．
點評：此題考查相似三角形的性質．解題的關鍵是數形結合思想的應用．注意分類討論，小心別漏解．