Question

如圖，某海域半徑為30海里的暗礁區(qū)中心有一哨所A，值班人員發(fā)現一艘輪船從哨所正西方向60海里的B處向哨所駛來，另一艘輪船從哨所西偏北45度方向海里C處向哨所駛來，哨所及時地發(fā)了危險信號．
（1）求發(fā)出信號時，B、C兩輪船之間的距離；
（2）兩輪船收到危險信號時，為避免觸礁，改變航向的角度至少分別應為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意畫出圖形，由題意可知，∠2=45°，AC=30海里，AB=30海里，由于∠2=45°，CD⊥AB，故△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AD=CD=30海里，故可知CD是AB的垂直平分線，所以△ABC是等腰直角三角形，所以BC=AC=30海里；
（2）若兩船收到危險信號時，為避免觸礁，改變航向，則輪船B的航向為BF、輪船C的航向為BE，連接AF、AE，則△ABF與△ACE均為直角三角形，在Rt△ABF中，由于AF=30海里，AB=60海里，所以∠ABF=30°；在Rt△ACE中，AE=30海里，AC=30海里，所以∠ACE=45度，故可得出結論．
解答：解：（1）由題意可知：∠2=45°，AC=30海里，AB=30海里，
∵∠2=45°，CD⊥AB，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===30海里，
∵AB=60海里，
∴CD是AB的垂直平分線，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=30海里；

（2）若兩船收到危險信號時，為避免觸礁，改變航向，則輪船B的航向為BF、輪船C的航向為BE，連接AF、AE，則△ABF與△ACE均為直角三角形，
在Rt△ABF中，
∵AF=30海里，AB=60海里，
∴∠ABF=30°；
∴輪船B的航向為：北偏東60°，改變航向的角度為30°；
在Rt△ACE中，
∵AE=30海里，AC=30海里，
∴sin∠ACE===，
∴∠ACE=45°，
∴輪船C的航向為正東方向，改變航向的角度為45°．
答：為避免觸礁，B、C兩輪船改變航向的角度至少分別為：30°，45°．
點評：本題考查的是方向角問題及切線的性質，根據題意畫出圖形，構造出直角三角形，再利用直角三角形的性質求解是解答此題的關鍵．