Question

(14分)已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經過A(－2，0)、B(0，1)兩點，且對稱軸是y軸．經過點C(0，2)的直線l與x軸平行，O為坐標原點，P、Q為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上的兩動點．

1.(1) 求拋物線的解析式；

2.(2) 以點P為圓心，PO為半徑的圓記為⊙P，判斷直線l與⊙P的位置關系，并證明你的結論；

3.(3) 設線段PQ＝9，G是PQ的中點，求點G到直線l距離的最小值．

 

Answer 1

 

1.．解：(1) ∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是y軸，∴b＝0．     …………………………1分

∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點A(－2，0)、B(0，1)兩點，

∴c＝1，a＝－，     ……………………………………3分

∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋1．    ……………4分

2.(2) 設點P坐標為(p，－p2＋1)，

如圖，過點P作PH⊥l，垂足為H，

∵PH＝2－(－p2＋1)＝p2＋1，         …………………6分

OP＝＝－p2＋1，     ………………8分

∴OP＝PH，

∴直線l與以點P為圓心，PO長為半徑的圓相切．    …………………………………9分

3.(3) 如圖，分別過點P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F. 連接EG并延長交DP的延長線于點K，

∵G是PQ的中點，

∴易證得△EQG≌△KPG，

∴EQ＝PK，        ………………………………………11分

由(2)知拋物線y＝－x2＋1上任意一點到原點的距離等于該點到直線l：y＝2的距離，

 即EQ＝OQ，DP＝OP，    …………………………………12分

∴ FG＝DK＝(DP＋PK)＝(DP＋EQ)＝(OP＋OQ)， ……13分

∴只有當點P、Q、O三點共線時，線段PQ的中點G到直線l的距離GF最小，

∵PQ＝9，

∴GF≥4.5，即點G到直線l距離的最小值是4.5．      …………………………………14分

(若用梯形中位線定理求解扣1分)

 

解析:略