Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)F在CD邊的延長(zhǎng)線上，且滿足DF=BE．聯(lián)結(jié)EF，點(diǎn)M、N分別是EF與AC、AD的交點(diǎn)．
（1）求∠AFE的度數(shù)；
（2）求證：．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD．
在△ABE和△ADF中，

∴ABE≌△ADF（SAS）．
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF．
∴∠AFE=∠AEF=×90°=45°．

（2）方法1：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°．
∵∠AEF=45°，
∴∠AEF=∠ACF．
又∵∠AME=∠FMC，
∴△ABE∽△ADF，
∴．
方法2：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB=∠AFD．
∵∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+∠CAE，∠AFD=∠AFE+∠CFM=45°+∠CFM，
∴∠CAE=∠CFM．
又∵∠ACB=∠ACD，△ACE∽△FCM．
∴．
分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，易證得ABE≌△ADF（SAS），然后由全等三角形的性質(zhì)，可求得AE=AF，∠BAE=∠DAF，繼而可求得答案；
（2）由四邊形ABCD是正方形，易證得△ABE∽△ADF，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．