Question

已知二次函數(shù)y=x²+2mx-m+1（m為常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該二次函數(shù)圖象的頂點P都在函數(shù)y=-x²+x+1的圖象上；
（2）若頂點P的橫、縱坐標(biāo)相等，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法將原式化為頂點式，找到二次函數(shù)的頂點表達(dá)式，此表達(dá)式對任意m值均成立，即可判定，不論m為何值，該二次函數(shù)圖象的頂點P都在函數(shù)y=-x²+x+1的圖象上；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，令頂點橫縱坐標(biāo)相等即可得到關(guān)于m的方程，解出m的值即可．
解答：（1）證明：y=x²+2mx-m+1=（x+m）²-m²-m+1．
則頂點P的坐標(biāo)為 （-m，-m²-m+1）．
當(dāng)x=-m時，y=-（-m）²+（-m）+1=-m²-m+1．
故不論m為何值，該二次函數(shù)圖象的頂點P都在函數(shù)y=-x²+x+1的圖象上．
（用頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)參照給分）
（2）解：根據(jù)題意得：-m=-m²-m+1．
解得：m=±1．
故點P的坐標(biāo)為 （1，1）或 （-1，-1）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，將二次函數(shù)配方，得到頂點式是解題的關(guān)鍵．