Question

如圖，四邊形ABDE、ACFG都是△ABC外側(cè)的正方形，M是線段DF中點，MH⊥BC于H．求證：

(1)H為BC的中點；

(2)MH＝BC．

Answer 1

答案：
解析：

證明：過D、A、F分別向直線BC作垂線，垂足分別為P、T、Q，則 　　∵四邊形ABDE是正方形， 　　∴BD＝BA，∠2與∠1互余． 　　又∠2與∠3互余， 　　∴∠1＝∠3． 　　∴Rt△BDP≌Rt△ABT． 　　∴DP＝BT，BP＝AT． 　　同理FQ＝TC，CQ＝AT． 　　∴PB＝CQ． 　　又由DP∥MH∥FQ，DM＝MF， 　　∴PH＝QH． 　　∴BH＝PH－PB＝HQ－CQ＝HC． 　　且BC＝BT＋TC＝DP＋FQ． 　　又MH為梯形DPQF的中位線， 　　∴MH＝(DP＋FQ)＝BC．

提示：

點悟：由于M為線段DF的中點，可構(gòu)造梯形的中位線，可讓DF為梯形的一腰，又由MH⊥BC；可過D、F分別向直線BC作垂線．這樣MH即為直角梯形DPQF的中位線．只須證PB＝CQ，便有(1)成立；只要證BC＝PD＋FQ，便有(2)成立． 　　點撥：三角形及梯形的中位線，可實現(xiàn)等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化．