Question

已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC。

（1）求點P的坐標；

（2）若P，A兩點在拋物線y=-x²+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上；

（3）（2）中的拋物線與矩形OABC邊CB相交于點D，與x軸相交于另外一點E，若點M是x軸上的點，N是y軸上的點，以點E、M、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求點M、N的坐標．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAC中，OA=，OC=1，則∠OAC=30°，∠OCA=60°；

根據折疊的性質知：OA=AP=，∠ACO=∠ACP=60°；

∵∠BCA=∠OAC=30°，且∠ACP=60°，

∴∠PCB=30°．

過P作PQ⊥OA于Q；

Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=；

∴OQ=AQ=，PQ=，

所以P（，）；

（2）將P、A代入拋物線的解析式中，得：

，

解得；

即y=-x²+x+1；

當x=0時，y=1，故C（0，1）在拋物線的圖象上．

（3）①若DE是平行四邊形的對角線，點C在y軸上，CD平行x軸，

∴過點D作DM∥CE交x軸于M，則四邊形EMDC為平行四邊形，

把y=1代入拋物線解析式得點D的坐標為（，1）

把y=0代入拋物線解析式得點E的坐標為（，0）

∴M（，0）；N點即為C點，坐標是（0，1）；

②若DE是平行四邊形的邊，

過點A作AN∥DE交y軸于N，四邊形DANE是平行四邊形，

∴DE=AN===2，

∵=，

∴∠EAN=30°，

∵∠DEA=∠EAN，

∴∠DEA=30°，

∴M（，0），N（0，-1）；

同理過點C作CM∥DE交y軸于N，四邊形CMDE是平行四邊形，

∴M（-，0），N（0，1）．