Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x²+2x+c過點(diǎn)A（-1，0）；直線l：y=-x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M；拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)A作AP⊥l于點(diǎn)P，P為垂足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）若N為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E．問：是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)D、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將點(diǎn)（-1，0）代入y=-x²+2x+c，
得0=-1-2+c，
解得：c=3．
故可得拋物線解析式為：y=-x²+2x+3，
將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式為y=-（x-1）²+4，
故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）由（1）y=-x²+2x+3，可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5．
又∵△ABP∽△CBO，
∴=，
故PB=×AB=×5=4，
又∵P_y=PBsin∠CBO，
∴P_y=4×=，
代入y=-x+3可得：=-x+3，
解得 x=．
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；

（3）將x=1代入y=-x+3，得y=，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，），
即可得DM=D_{縱坐標(biāo)}-M_{縱坐標(biāo)}=4-=，
要使得以點(diǎn)D、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，只需NE=DM即可，
即只要NE=即可，
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（x，-x+3），點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
①由NE=E_{縱坐標(biāo)}-N_{縱坐標(biāo)}=（-x²+2x+3）-（-x+3）=，得4x²-11x+7=0，
解之得x=或x=1（此時(shí)點(diǎn)N和D、M共線，不合題意，舍去），
②由NE=N_{縱坐標(biāo)}-E_{縱坐標(biāo)}=（-x+3）-（-x²+2x+3）=，得4x²-11x-7=0，
解得：x=，
綜上所述，滿足題意的點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x₁=，x₂=，x₃=．
分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可得出c的值，從而得出了函數(shù)解析式，化為頂點(diǎn)式可直接得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出OB、BC，然后根據(jù)△ABP∽△OBC，求出PB，再由P_y=PBsin∠CBO，可得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式可得出橫坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意可得要使得以點(diǎn)D、M、N、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，只需NE=DM即可，從而得出方程，求解即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及解方程的知識(shí)，解答此類大綜合題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺鶎W(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通．