Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D、E，AD與BE相交于點F，若BF=AC，求∠ABC的大�。�

Answer 1

【答案】分析：由AD⊥BC，BE⊥AC，根據垂直定義可得∠ADB，∠ADC及∠BEC都為直角，又∠AFE與∠BFD為對頂角，可得三角形AEF與三角形BDF相似，由相似三角形的對應角相等可得∠FAE=∠FBD，又一對直角相等，加上已知的BF=AC，利用AAS可得三角形ADC與三角形BFD全等，根據全等三角形的對應邊相等可得AD=BD，又AD與BD垂直，可得三角形ABD為等腰直角三角形，從而求出∠ABC的度數．
解答：解：∵AD⊥BC，BE⊥AC（已知），
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°（垂直定義），
又∵∠AFE=∠BFD（對頂角相等），
∴△AEF∽△BDF（兩對對應角相等的兩三角形相似），
∴∠FAE=∠FBD（相似三角形的對應角相等），
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS），
∴BD=AD（全等三角形的對應邊相等），
∴∠BAD=∠ABD（等邊對等角），
又∵∠ADB=90°（已證），
∴∠ABC==45°（三角形的內角和定理）．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，學生做題時應挖掘題中隱含的條件，比如對頂角相等，垂直可得直角，結合圖形，構造證明三角形全等的條件來解決問題，其中全等三角形的判定方法有SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形），熟練掌握三角形全等的判定方法是解本題的關鍵．