Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，且AF⊥AD，E在CD上，滿足AF=EF．
（1）求證：

1

2

∠AFE+∠D=90°；
（2）連結(jié)AE，若AD=5，AF=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)F作FN⊥AE于N，交AD于M，求出∠AFM=∠EFM=

1

2

∠AFE，AN=EN，推出FM∥DC，推出∠AED=90°，求出∠D+∠DAE=90°，求出∠DAE=∠AFM=

1

2

∠AFE，代入求出即可．
（2）求出AM，根據(jù)勾股定理求出FM，根據(jù)三角形面積公式求出AN，即可求出AE．

解答：
（1）證明：過(guò)F作FN⊥AE于N，交AD于M，
∵AF=EF，
∴∠AFM=∠EFM=

1

2

∠AFE，AN=EN，
∵F為BC中點(diǎn)，AB∥DC，
∴FM∥AB∥CD，
∴AM=DM，∠ANM=∠AED=90°，
∵FM⊥AE，AF⊥AD，
∴∠MAF=∠ANF=90°，
∴∠AFM+∠NAF=90°，∠DAE+∠NAF=90°，
∴∠AFM=∠DAE=

1

2

∠AFE，
∵∠∠AED=90°，
∴∠D+∠DAE=90°，
即

1

2

∠AFE+∠D=90°．

（2）解：∵AM=DM，AD=5，
∴AM=2.5，
在Rt△MAF中，由勾股定理得：MF=

AM2+AF2

=

2．52+62

=

13

2

，
由三角形面積公式得：S_△MAF=

1

2

×AM×AF=

1

2

×FM×AN，
∴2.5×6=

13

2

AN，
∴AN=

30

13

，
∴AE=2AN=

60

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，梯形的中位線的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．