Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，CD切半圓O于點(diǎn)D。連結(jié)OD，作BE⊥CD于點(diǎn)E，交半圓O于點(diǎn)F。已知CE=12，BE=9

（1）求證：△COD∽△CBE；
（2）求半圓O的半徑 的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD切半圓于點(diǎn)D，OD為⊙O的半徑，

∴CD⊥OD,

∴∠CDO=90°,

∵BE⊥CD于點(diǎn)E,

∴∠E=90°.

∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,

∴△COD∽△CBE.

（2）

解：∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,

∴CE=15,

∵△COD∽△CBE,

∴,

即,

∴r=.

【解析】（1）根據(jù)CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD于點(diǎn)E,得出∠CDO=∠E=90°,根據(jù)三角形兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得出△COD∽△CBE.
（2）根據(jù)（1）中△COD∽△CBE,得出 ， 從而求出半徑。
【考點(diǎn)精析】利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線(xiàn)的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．