Question

在如圖所示的平面直角坐標系中,點C在y軸的正半軸上,四邊形OABC為平行四邊形,OA=2,∠AOC=60°,以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過點C,交BC于點D,DE⊥AB,交AB于E｡

(1)求點A和B的坐標;

 (2)求證:DE是⊙P的切線;

 (3)     小明在解答本題時,發(fā)現(xiàn)連結(jié)DA并延長,交x軸于點N,則△AON是等腰三角形.由此,他斷定:“x軸上一定存在除點N以外的點Q,使△AOQ也是等腰三角形,且點Q一定在⊙P外”.你同意他的看法嗎?請充分說明理由.

Answer 1

 (1)解:連結(jié)AC,∵ OA為⊙P的直徑,∴ ∠ACO=90°,

又∵ OA=2,∠AOC=60°,∴ OC=1,AC=,

∴ A點坐標為(,1),

∵ OABC為平行四邊形,∴ AB=OC,∴ B點坐標為(,2)｡

(2)證明:連結(jié)P D．AD,

∵四邊形OABC是平行四邊形,∴CD∥OA,∴弧OC=弧AD,∴OC=AD,

∴四邊形OADC為等腰梯形,

∴∠DAO=∠AOC=60°,∵PA=PD,

∴△PAD為等邊三角形,∴∠PDA=60°,

∵∠BAO=180°-60°=120°,∠DAO=60°,

∴∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠PDA,∴PD∥AB,

∵DE⊥AB,∴DE⊥PD, ∴DE是⊙P的切線｡

(3)解:不同意｡理由如下::

①當(dāng)OA=OQ時,

以點O為圓心,OA為半徑畫弧交x軸于Q₁和Q₃兩點,

得點Q₁(-2,0),Q₃(2,0)

②當(dāng)OQ=AQ時,作OA的中垂線,交x軸于點Q₂,

OQ₂=<,點Q₂(,0)｡

因此,在x軸上,除了N點外,既存在⊙P內(nèi)的點Q₂,又存在⊙P外的點Q₁、Q₃,它們分別使△AOQ為等腰三角形｡