【題目】如圖,CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線,CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點,且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部,且E,F(xiàn)在射線CD上.
①如圖1,若∠BCA=90°,∠α=90°,則BE CF;
②如圖2,若0°<∠BCA<180°,請?zhí)砑右粋關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件 ,使①中的結(jié)論仍然成立,并說明理由;
(2)如圖3,若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部,∠α=∠BCA,請?zhí)岢鲫P(guān)于EF,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想: .
【答案】(1)①=;②∠BCA=180°-∠α;(2 )EF=BE+AF.
【解析】試題分析:(1)①由∠BCA=90°,∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,可推得∠CBE=∠ACD,且已知CA=CB,∠BEC=∠CFA,所以△BEC≌△CDA,可得BE=CF;
②只有滿足△BEC≌△CDA,才有①中的結(jié)論,即∠BCE=∠CAF,∠CBE=∠FCA;由三角形內(nèi)角和等于180°,可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°,即∠α+∠BCE+∠FCA=180°,即可得到∠BCA=180°-∠α;
(2)只要通過條件證明△BEC≌△CFA(可通過ASA證得),可得BE=CF,EC=AF,即可得到EF=EC+CF=BE+AF.
試題解析:(1)①∵∠BCA=90°,∠α=90°,
∴∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CBE=∠ACD,
在△BEC與△CDA中,
∵ ,
∴△BEC≌△CFA(AAS),
∴BE=CF
故答案為:=;
②∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是∠BCA=180°-∠α,理由為:
∵∠α+∠BCA=180°,
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°,
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°(三角形內(nèi)角和等于180°),
∴∠CBE=∠ACD,
又∵∠BEC=∠CFA,CA=CB,
∴△BEC≌△CFA(AAS),
∴BE=CF,
則∠α與∠BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是∠BCA=180°-∠α;
(2)探究結(jié)論:EF=BE+AF,
∵∠1+∠2+∠BCA=180°,∠2+∠3+∠CFA=180°,
又∵∠BCA=∠α=∠CFA,
∴∠1=∠3;
又∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,
∴△BEC≌△CFA(AAS),
∴BE=CF,EC=FA,
∴EF=EC+CF=BE+AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,O是AC與BD的交點,過O點的直線EF與AB,CD的延長線分別交于E,F(xiàn).
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時,以A,E,C,F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形?證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列運(yùn)動屬于平移的是( 。
A.旋轉(zhuǎn)的電風(fēng)扇
B.擺動的鐘擺
C.用黑板擦沿直線擦黑板
D.游樂場正在蕩秋千的人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊三角形ACD及等邊三角形ABE.已知∠BAC = 30,EF⊥AB于點 F,連接 DF.
(1)求證:AC=EF;
(2)求證:四邊形 ADFE是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,點E,F分別在射線AB,射線BC上,AE=BF,DE與AF交于點O.
(1)如圖1,當(dāng)點E,F分別在線段AB,BC上時,則線段DE與AF的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
(2)如圖2,當(dāng)點E在線段AB延長線上時,將線段AE沿AF進(jìn)行平移至FG,連接DG.
①依題意將圖2補(bǔ)全;
②小亮通過觀察、實驗提出猜想:在點E運(yùn)動的過程中,始終有.
小亮把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:連接EG,要證明,只需證四邊形FAEG是平行四邊形及△DGE是等腰直角三角形.
想法2:延長AD,GF交于點H,要證明,只需證△DGH是直角三角形.
圖1 圖2
請你參考上面的想法,幫助小亮證明.(一種方法即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題探究:(1)如圖①,AB為⊙O的弦,點C是⊙O上的一點,在直線AB上方找一個點D,使得∠ADB=∠ACB,畫出∠ADB;
(2)如圖②,AB 是⊙O的弦,點C是⊙O上的一個點,在過點C的直線l上找一點P,使得∠APB<∠ACB,畫出∠APB;
(3)如圖③,已知足球門寬AB約為米,一球員從距B點米的C點(點A、B、C均在球場的底線上),沿與AC成45°的CD方向帶球.試問,該球員能否在射線CD上找一點P,使得點P最佳射門點(即∠APB最大)?若能找到,求出這時點P與點C的距離;若找不到,請說明理由.
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