Question

如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．已知OA=8，OC=6，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點．
（1）分別寫出點E、點F的坐標；
（2）過點E作ME⊥EF交x軸于點M，求點M的坐標；
（3）在線段OC上是否存在點P，使得以點P、E、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點即可求出點E、點F的坐標；
（2）先利用相似三角形的性質(zhì)求出△AEM∽△BFE，再由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AM的長，再根據(jù)OA=8即可求出OM的長，進而可求出M點的坐標；
（3）設(shè)P（0，n），過點P作PH⊥AB于點H，利用勾股定理可求出PF、PE、EF的長，再分PF=PE、PE=EF、PF=EF三種情況，列出方程求出n的值即可．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA=8，OC=6，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，
∴E（8，3），F(xiàn)（4，6）； （3分）

（2）∵ME⊥EF，
∴∠BEF+∠AEM=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEM=∠BFE，
又∵∠EAM=∠B=90°，
∴△AEM∽△BFE，（5分）
∴，
即，
∴，（7分）
∴，
∴M（，0）；（9分）

（3）如圖，設(shè)P（0，n），
過點P作PH⊥AB于點H，
在Rt△CPF中，PF²=CF²+CP²=4²+（6-n）²，
在Rt△EPH中，PE²=PH²+EH²=8²+（3-n）²，
在Rt△BEF中，EF²=BE²+BF²=25，
①當PE=PF時PE²=PF²，
即8²+（3-n）²=4²+（6-n）²，
解得（不合題意，舍去）； （10分）
②當PE=EF時PE²=EF²，
即8²+（3-n）²=25，此方程無解； （11分）
③當PF=EF時PF²=EF²，
即4²+（6-n）²=25，
解得n₁=3，n₂=9（不合題意，舍去），（12分）
綜上，存在點P（0，3），此時△PEF是等腰三角形．（13分）
故答案為：E（8，3），F(xiàn)（4，6）； M（，0）；-、3、9．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．