Question

（2008•鄂州）設x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實根，當a為何值時，x₁²+x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】分析：設x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的兩實根，首先：△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0可求得a≤，得到了關于a的取值范圍．對要求值的式子化簡：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，設y=2（a-2）²-4，這是一個關于a的一元二次方程，其對稱軸是a=2，開口方向向上．根據開口向上的二次函數的性質：距對稱軸越近，其函數值越�。�故在a≤的范圍內，當時，x₁²+x₂²的值最小；此時，即最小值為．
解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，∴
又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4．
設y=2（a-2）²-4，根據二次函數的性質．
∵
∴當時，x₁²+x₂²的值最�。�
此時，即最小值為．
點評：本題考查一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數關系，兩根之和是，兩根之積是．還考查了用二次函數性質解決二次三項式的最小值問題可以轉化為利用二次函數解決．