Question

⊙O₂與⊙O₁交于A，B兩點，射線O₁A交⊙O₂于C點，射線O₂A交⊙O₁于D點．求證：點A是△BCD的內(nèi)心．

Answer 1

證明：設兩圓為⊙O、⊙Q，如圖
延長CA交⊙O₁于M點，延長DA交⊙O₂于N點，連接AB、DM、CN、MN，
∵AM是⊙O₁的直徑，AN是⊙O₂的直徑，
∴∠MDN=∠ACN=90°，
∴C、D、M、N四點共圓，
∴∠DMC=∠DNC，
∵∠DMC=∠DBA，∠DNC=∠ABC，
∴∠DBA=∠ABC，
∴點A在∠DBC的角平分線上，
∵C、D、M、N四點共圓，
∴∠DCM=∠DNM，
∵∠DNM=∠ACB，
∴∠DCM=∠ACB，
∴點A在∠DCB的角平分線上，
同理：點A在∠CDB的角平分線上，
∴點A是△CDB的三個角平分線的交點，
∴點A是△BCD的內(nèi)心．
分析：首先作輔助線延長CA交⊙O₁于M點，延長DA交⊙O₂于N點，連接AB、DM、CN、MN，證出C、D、M、N四點共圓，再推出點A在∠DBC的角平分線上，同理點A也在∠DCB和∠CDB的角平分線上，即可得出答案．
點評：本題主要考查了四點共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，確定圓的條件等知識點，作輔助線證C、D、M、N四點共圓是解此題的關(guān)鍵．