已知二次函數(shù)y=x2-x+c.
(1)若點(diǎn)A(-1,n),B(2,2n-1)在二次函數(shù)y=x2-x+c的圖象上,求此二次函數(shù)的最小值;
(2)若點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2),P(m,m)(m>0)在拋物線y=x2-x+c上,且D,E兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,連接PO,當(dāng)2≤PO≤
+2時(shí),試判斷直線DE與拋物線y=x2-x+c+
的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
解:(1)法1:由題意得
解得
法2:∵拋物線y=x2-x+c的對(duì)稱軸是x=,
且-(-1) =2-
,∴A,B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱.
∴n=2n-1
∴n=1,c=-1.
∴有 y=x2-x-1
=(x-)2-
.
∴二次函數(shù)y=x2-x-1的最小值是-.
(2)∵點(diǎn)P(m,m)(m>0),
∴PO=m.
∴2≤
m≤
+2.
∴2≤m≤1+.
法1:∵點(diǎn)P(m,m)(m>0)在二次函數(shù)y=x2-x+c的圖象上,
∴m=m2-m+c,即c=-m2+2m.
∵開口向下,且對(duì)稱軸m=1,
∴當(dāng)2≤m≤1+時(shí),
有 -1≤c≤0.(6分)
法2:∵2≤m≤1+,
∴1≤m-1≤.
∴1≤(m-1)2≤2.
∵點(diǎn)P(m,m)(m>0)在二次函數(shù)y=x2-x+c的圖象上,
∴m=m2-m+c,即1-c=(m-1)2.
∴1≤1-c≤2.
∴-1≤c≤0.
∵點(diǎn)D,E關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,
法1:∴x2=-x1,y2=-y1.
∴
∴2y1=-2x1,y1=-x1.
設(shè)直線DE:y=kx.
有 -x1=kx1.
由題意,存在x1≠x2.
∴存在x1,使x1≠0.
∴k=-1.
∴直線DE:y=-x.
法2:設(shè)直線DE:y=kx.
則根據(jù)題意有 kx=x2-x+c,即x2-(k+1)x+c=0.
∵-1≤c≤0,
∴(k+1)2-4c≥0.
∴方程x2-(k+1)x+c=0有實(shí)數(shù)根.
∵x1+x2=0,
∴k+1=0.
∴k=-1.
∴直線DE:y=-x.
若 則有 x2+c+
=0.
即 x2=-c-.
①當(dāng)-c-=0時(shí),即c=-
時(shí),方程x2=-c-
有相同的實(shí)數(shù)根,
即直線y=-x與拋物線y=x2-x+c+有唯一交點(diǎn);
②當(dāng)-c->0時(shí),即c<-
時(shí),即-1≤c<-
時(shí),
方程x2=-c-有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,
即直線y=-x與拋物線y=x2-x+c+有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
③當(dāng)-c-<0時(shí),即c>-
時(shí),即-
<c≤0時(shí),
方程x2=-c-沒有實(shí)數(shù)根,
即直線y=-x與拋物線y=x2-x+c+沒有交點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分10分)已知二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(-2,5).
(1)求b的值,并寫出當(dāng)0<x≤3時(shí)y的取值范圍;
(2)設(shè)點(diǎn)P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)在這個(gè)二次函數(shù)的圖像上.
①試比較y1和y2的大小;
②當(dāng)m取不小于5的任意實(shí)數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索:y1、y2、y3能否作為一個(gè)三角形
三邊的長,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011年蒙城六中九年級(jí)(上)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
已知二次函數(shù)y=x2-2x-3.求:
(1)拋物線與x軸和y軸相交的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)畫出此拋物線圖象;
(3)利用圖象回答下列問題:
①方程x2-2x-3=0的解是什么?
②x取什么值時(shí),函數(shù)值大于0?
③x取什么值時(shí),函數(shù)值小于0?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011屆江蘇省太倉市九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象是由y=x2+2x-1的圖象先向上平移一個(gè)單位,再向
A.左移3個(gè)單位 B.右移3個(gè)單位 C.左移6個(gè)單位 D.右移6個(gè)單位
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