Question

如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是BC邊上的點，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線CP于點P，交邊CD于點F，

（1）的值為　　；

（2）求證：AE=EP；

（3）在AB邊上是否存在點M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．

分析：

（1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答；

（2）在BA邊上截取BK=NE，連接KE，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出；

（3）作DM⊥AE于AB交于點M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出．

解答：

（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D，

∵∠AEP=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在Rt△ABE中，AE==，

∵sin∠BAE==sin∠FEC=，

∴=，

（2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE，

∵∠B=90°，BK=BE，

∴∠BKE=45°，

∴∠AKE=135°，

∵CP平分外角，

∴∠DCP=45°，

∴∠ECP=135°，

∴∠AKE=∠ECP，

∵AB=CB，BK=BE，

∴AB﹣BK=BC﹣BE，

即：AK=EC，

易得∠KAE=∠CEP，

∵在△AKE和△ECP中，

，

∴△AKE≌△ECP（ASA），

∴AE=EP；

（3）答：存在．

證明：作DM⊥AE于AB交于點M，

則有：DM∥EP，連接ME、DP，

∵在△ADM與△BAE中，

，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EP，

∴MD=EP，

∴MDEP，

∴四邊形DMEP為平行四邊形．

點評：

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的準(zhǔn)確選擇．