Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF，在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：

①△DFE是等腰直角三角形；

②四邊形CEDF不可能為正方形；

③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；

④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為．

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】

①連接CD（如圖1）。

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。

∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。

∴△DFE是等腰直角三角形。

故此結(jié)論正確。

②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，∵由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。

∴四邊形CEDF是平行四邊形。

又∵E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，∴四邊形CEDF是菱形。

又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是正方形。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

③如圖2，分別過點(diǎn)D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點(diǎn)M，N，

由②，知四邊形CMDN是正方形，∴DM=DN。

由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。

∴由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。

∴四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。

故此結(jié)論錯(cuò)誤。

④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴FE=DF。

當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)， EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為。

故此結(jié)論正確。

故正確的有2個(gè)：①④。故選B。

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