Question

如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以P為圓心，

3

為半徑的圓與直線y=-

3

x+2

3

相切于C點(diǎn)，則過點(diǎn)C的雙曲線的K是

3 3

4

或-

5 3

4

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)O作直線AB的垂線，垂足為C點(diǎn)．由直線解析式可知，OA=2，OB=2

3

；然后利用三角形的面積公式求得OC=

3

；再根據(jù)∠CAO的三角函數(shù)值即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，則過點(diǎn)C的雙曲線的K=xy．進(jìn)而算出k的值．

解答：解：過點(diǎn)O作直線AB的垂線，垂足為C點(diǎn)，
∵直線y=-

3

x+2

3

與x軸交于A，與y軸交于B，
∴A（2，0），B（0，2

3

），
∴OA=2，OB=2

3

，
由勾股定理可知：AB=4，
S_△AOB=

1

2

OC•AB=

1

2

OA•OB，

1

2

×CO×4=

1

2

×2×2

3

，
∴OC=

3

，
∵以P為圓心，

3

為半徑的圓，
∴P（0，0），根據(jù)中心對(duì)稱性得點(diǎn)P′（4，0），
①當(dāng)P（0，0）時(shí)，過C作CD⊥x軸，CE⊥y軸，
∵CO=

3

，AO=2，
∴sin∠CAO=

3

2

∴∠CAO=60°，
∴∠COD=30°，
∴CD=

3

2

，
∴DO=

3

2

，
∴C（

3

2

，

3

2

），
設(shè)過C點(diǎn)的雙曲線關(guān)系式為y=

K

x

（k≠0），
∴K=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

；
②當(dāng)P′（4，0）時(shí)，過C作CG⊥x軸，CH⊥y軸，
與①同理可得：P′G=

3

2

，GC′=

3

2

，
∴C′（

5

2

，-

3

2

），
設(shè)過C′點(diǎn)的雙曲線關(guān)系式為y=

K

x

（k≠0），
K=

5

2

×（-

3

2

）=-

5 3

4

，
故答案為：

3 3

4

或-

5 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定出P點(diǎn)的坐標(biāo)．