Question

5．如圖，已知拋物線l₁經過原點與A點，其頂點是P（-2，3），平行于y軸的直線m與x軸交于點B（b，0），與拋物線l₁交于點M．
（1）點A的坐標是（-4，0）；拋物線l₁的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3；
（2）當BM=3時，求b的值；
（3）把拋物線l₁繞點（0，1）旋轉180°，得到拋物線l₂．
①直接寫出當兩條拋物線對應的函數值y都隨著x的增大而減小時，x的取值范圍-2＜x＜2；
②直線m與拋物線l₂交于點N，設線段MN的長為n，求n與b的關系式，并求出線段MN的最小值與此時b的值．

Answer 1

分析 （1）根據O和A是對稱點即可求得A的坐標，然后利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）BM=3則M的縱坐標是3或-3，代入拋物線解析式求得M的橫坐標，即B的橫坐標；
（3）M和N的橫坐標相等，則設橫坐標是b，則利用b可以表示出M和N的縱坐標，即可表示出MN的長，則根據二次函數的性質即可求解．

解答 解：（1）∵頂點P的坐標是（-2，3），即對稱軸是x=-2，
∴A的坐標是（-4，0）．
設拋物線的解析式是y=a（x+2）2+3，
把（0，0）代入得4a+3=0，
解得a=-$\frac{3}{4}$，
則拋物線的解析式是y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
故答案是：（-4，0），y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3．
（2）在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=-3，則-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=-3，
解得：x=-2$\sqrt{2}$-2或2$\sqrt{2}$-2．
當在y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3中，令y=3時，則-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3=3，
解得x=-2，即b=-2．
則b=-2或2$\sqrt{2}$-2或-2$\sqrt{2}$-2；
（3）P（-2，3）關于（0，1）的對稱點是（2，-1），
則拋物線L₂的解析式是y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-1，
①當-2＜x＜2時，兩條拋物線對應的函數值y都隨著x的增大而減小．
答案是：-2＜x＜2；
②設M的坐標是（b，-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$），則N的坐標是（b，$\frac{3}{4}$（b-2）²-1），
則MN=$\frac{3}{4}$（b-2）²-1）-[-$\frac{3}{4}（b+2）^{2}+3$]=$\frac{3}{2}$b²+2．
則當b=0時，MN最小，是2．

點評 本題是二次函數與點的對稱的綜合應用，關鍵是求得兩條拋物線的解析式．