Question

【題目】如圖1，線段AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點M是弧CBD上任意一點，AH＝4，CD＝16．

（1）求圓O的半徑r的長度；

（2）求tan∠CMD；

（3）如圖2，直徑BM交直線CD于點E，直線MH交圓O于點N，連接BN交CE于點F，求HEHF的值．

Answer 1

【答案】（1）圓O的半徑r的長度為10；（2）tan∠CMD＝；（3）HEHF的值為64．

【解析】

（1）在Rt△COH中，利用勾股定理即可解決問題；

（2）只要證明∠CMD=∠COA，求出tan∠COA即可；

（3）由△EHM∽△NHF，推出HEHF=HMHN，又HMHN=AHHB，推出HEHF=AHHB，由此即可解決問題

（1）如圖1中，連接OC．

∵AB⊥CD，∴∠CHO=90°，

在Rt△COH中，∵OC=r，OH=r-4，CH=4，

∴r2=42+（r-4）2，∴r=10．

答：圓O的半徑r的長度為10；

（2）如圖1中，連接OD．

∵AB⊥CD，AB是直徑，

∠COA=，∠M=，

∴∠COA=∠CMD，

∴tan∠CMD=tan∠COA=；

（3）如圖2中，連接AM．

∵AB是直徑，

∴∠AMB=90°，

∴∠MAB+∠ABM=90°，

∵∠E+∠ABM=90°，

∴∠E=∠MAB，

∴∠MAB=∠MNB=∠E，

∵∠EHM=∠NHF

∴△EHM∽△NHF，

∴HEHF=HMHN，

∵HMHN=AHHB，

∴HEHF=AHHB=164=64．

答：HEHF的值為64．