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如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,-4),線段OB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與x軸的正半軸重合,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A.
(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo),并求出經(jīng)過(guò)A,O,B三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C,使BC+OC的值最��?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如果點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在x軸的上方,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△PAB的面積最大?求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PAB的最大面積.

【答案】分析:(1)首先求出OB的長(zhǎng),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知OB=OA,即可得到A點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式;
(2)由于O、A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,若連接AB,則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn),可先求出直線AB的解析式,聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)可過(guò)P作y軸的平行線,交直線AB于M;可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)(根據(jù)P點(diǎn)的位置可確定其橫坐標(biāo)的取值范圍),根據(jù)拋物線和直線AB的解析式,可表示出P、M的縱坐標(biāo),即可得到PM的長(zhǎng),以PM為底,A、B縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得到△PAB的面積,從而得出關(guān)于△PAB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍,即可求得△PAB的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)(5,0),
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx,
,
,,
;

(2)由于A、O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,連接AB,
則AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn);
易求得直線AB的解析式為:y=x-
拋物線的對(duì)稱軸為=,
當(dāng)x=時(shí),y=×-=-
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,-);

(3)過(guò)P作直線PM∥y軸,交AB于M,
設(shè)P(x,-x2+x),則M(x,x-),
∴PM=-x2+x-(x-)=-x2+x+
∴△PAB的面積:S=S△PAM+S△PBM
=PM•(5-)+PM•(+3)
=×(-x2+x+)×(5+3)
=-x2+x+10
=-(x-1)2+,
所以當(dāng)x=1,即P(1,)時(shí),△PAB的面積最大,且最大值為
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、最短路徑問(wèn)題、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn),能夠?qū)D形面積問(wèn)題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問(wèn)題是解決(3)題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=
9x
的圖象在第一象限相精英家教網(wǎng)交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點(diǎn)B、C.如果四邊形OBAC是正方形,求一次函數(shù)的關(guān)系式.

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5、如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0).月牙①繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為( �。�

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精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一顆棋子從點(diǎn)P處開始依次關(guān)于點(diǎn)A,B,C作循環(huán)對(duì)稱跳動(dòng),即第一次從點(diǎn)P跳到關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M處,第二次從點(diǎn)M跳到關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)N處,第三次從點(diǎn)N跳到關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)處,…如此下去.
(1)在圖中標(biāo)出點(diǎn)M,N的位置,并分別寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):
 

(2)請(qǐng)你依次連接M、N和第三次跳后的點(diǎn),組成一個(gè)封閉的圖形,并計(jì)算這個(gè)圖形的面積;
(3)猜想一下,經(jīng)過(guò)第2009次跳動(dòng)之后,棋子將落到什么位置.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,有一組對(duì)角線長(zhǎng)分別為1,2,3的正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,其對(duì)角線OB1、B1B2、B2 B3依次放置在y軸上(相鄰頂點(diǎn)重合),依上述排列方式,對(duì)角線長(zhǎng)為n的第n個(gè)正方形的頂點(diǎn)An的坐標(biāo)為
 

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如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),拋物線與y軸交點(diǎn)為C,其頂點(diǎn)為D,連接BD,點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合),過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為E,連接精英家教網(wǎng)BE.
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出s的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)s取得最大值時(shí),過(guò)點(diǎn)P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P',請(qǐng)直接寫出P'點(diǎn)坐標(biāo),并判斷點(diǎn)P'是否在該拋物線上.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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