Question

大家已經(jīng)知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面幾何圖形的面積來(lái)表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2x（x+y）=2x²+2xy就可以用圖的面積表示．
（1）請(qǐng)寫出圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：

（x+y）（2x+y）=2x²+3xy+y²

；
（2）請(qǐng)寫出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：

（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²

；
（3）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．

Answer 1

分析：（1）圖（2）中，大長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為（x+y），（2x+y），圖形中包括了兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，三個(gè)邊長(zhǎng)為x、y的長(zhǎng)方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形，根據(jù)面積關(guān)系得出代數(shù)恒等式；
（2）圖（3）中，大長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)為（x+2y），（2x+y），圖形中包括了兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，五個(gè)邊長(zhǎng)為x、y的長(zhǎng)方形，二個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形，根據(jù)面積關(guān)系得出代數(shù)恒等式；
（3）根據(jù)題意，畫出邊長(zhǎng)為（x+y），（x+3y）的長(zhǎng)方形，再將圖形劃分，利用面積關(guān)系說(shuō)明等式．

解答：解：（1）由圖（2）的面積關(guān)系可知，（x+y）（2x+y）=2x²+3xy+y²；
故答案為：2x²+3xy+y²；

（2）由圖（3）的面積關(guān)系可知，（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；
故答案為：（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；

（3）以邊長(zhǎng)為（x+y），（x+3y）畫長(zhǎng)方形，如圖所示，

由圖可知，（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平方差公式的幾何背景，完全平方公式的幾何背景．關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合的方法，由大長(zhǎng)方形得出圖形的長(zhǎng)與寬，計(jì)算面積，再看圖形中包括的小長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)及每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，得出面積結(jié)論．