Question

如圖，第一象限內(nèi)半徑為4的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y=kx+6。
（1）設(shè)點P的縱坐標為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP，請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；
（3）是否存在△AMN的面積等于？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線，
∴OA⊥AD，BD⊥AD，
又OA⊥OB，
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°，
∴四邊形OADB是矩形，
∵⊙C的半徑為4，
∴AD=OB，
∵點P在直線l上，
∴點P的坐標為（8，p），
又∵點P也在直線AP上，
∴p=8k+6；
（2）連接DN，
∵AD是⊙C的直徑，
∴∠AND=90°，
∵∠ADN=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN，
∴∠ADN=∠ABD，
∵∠ADN=∠AMN，
∴∠AMN=∠ABD，
又∵∠MAN=∠BAP，
∴△AMN∽△ABP；
（3）存在；
理由：把x=0代入y=kx+6得y=6，即OA=BD=6，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=10，
∵S_△ABD=，
∴DN=，
∴，
∵△AMN∽△ABP，
∴，即，
當點P在B點上方時，
∵，
，
∴,
整理得，,
解得，，
當點P在B點下方時，
，
，
∴，
化簡，得，解得k=-2，
綜合以上所述得，當或時，△AMN的面積等于。