Question

如圖，已知直線y=kx-3經(jīng)過點M，則與此直線、x軸、y軸都相切的圓的圓心坐標(biāo)為

（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）

．

Answer 1

分析：由直線y=kx-3經(jīng)過M點，故將M的坐標(biāo)代入直線方程中求出k的值，確定出直線的解析式，然后令y=0，求出x的值，即為A的橫坐標(biāo)，令x=0求出y的值，即為B的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出OA及OB的長，設(shè)所求圓的半徑為r，分四種情況考慮：當(dāng)圓心C在三角形OAB內(nèi)部時，如圖所示，連接OD，OE，OF，在直角三角形AOB中，由OA及OB的長，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)切線長定理得到AD=AE，OD=OF=r，BE=BF，用OA-OD表示出AD，用OB-OF表示出BF，再由AB=AE+EB=AD+BF，將表示出的AD及BF代入，得到關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，確定出此時圓心C的坐標(biāo)；當(dāng)圓心C在三角形AOB外部，且在第三象限時，如圖所示，根據(jù)切線長定理得到OD=OE=r，AD=AF，BE=BF，由AB=AF+FB=AD+BE，再由OD-OA表示出AD，OE-OB表示出BE，代入可得出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，確定出此時圓心C的坐標(biāo)；當(dāng)圓心C在三角形AOB外部，且在第二象限或第四象限時，同理可得出圓心C的坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意的圓心坐標(biāo)．

解答：解：由圖象可知，點M（-2，1）在直線y=kx-3上，
∴-2k-3=1，解得k=-2，
∴直線的解析式為y=-2x-3，
令y=0，可得x=-

3

2

，∴直線與x軸的交點A坐標(biāo)為（-

3

2

，0），即OA=

3

2

，
令x=0，可得y=-3，∴直線與y軸的交點B坐標(biāo)為（0，-3），即OB=3，
設(shè)所求圓的半徑為r，
當(dāng)圓心在△AOB內(nèi)部時，圓心C坐標(biāo)為（-r，-r），如圖所示：

設(shè)圓C與x軸相切于點D，與y軸相切于點F，與直線y=-2x+3相切于點E，連接CD，CE，CF，
根據(jù)切線長定理得到：AD=AE，BE=BF，OD=OF，
在Rt△AOB中，由OA=

3

2

，OB=3，根據(jù)勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

3 5

2

，
又AB=AE+BE=AD+BF=OA-OD+OB-OF=OA+OB-2r=

3

2

+3-2r，
∴

3

2

+3-2r=

3 5

2

，解得：r=

9-3 5

4

，
則此時圓心C坐標(biāo)為（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）；
當(dāng)圓心在△AOB外部，并在第三象限時，如圖所示：

設(shè)此時圓心C坐標(biāo)為（-r，-r），根據(jù)切線長定理得到AD=AF，BF=BE，
∴AB=AF+FB=AD+BE=OD-OA+OE-OB=2r-3-

3

2

，又AB=

3 5

2

，
∴2r-3-

3

2

=

3 5

2

，解得：r=

9+3 5

4

，
則此時圓心C坐標(biāo)為（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）；
當(dāng)圓心在△AOB外部，并在第二象限時，如圖所示：

設(shè)圓心C坐標(biāo)為（-r，r），根據(jù)切線長定理得到BF=BE，AF=AD，OD=OE，
∵BE=BO+OE=3+r，∴BF=3+r，
又AB=

3 5

2

，∴AD=AF=BF-AB=3+r-

3 5

2

，
∴AO=AD+OD=3+r-

3 5

2

+r=

3

2

，解得：r=

3 5 -3

4

，
則此時圓心C坐標(biāo)為（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）；
當(dāng)圓心在△AOB外部，并在第四象限時，如圖所示：

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r，-r），根據(jù)切線長定理得到OD=OE=r，BE=BF，AD=AF，
∵AO=

3

2

，∴AF=AD=AO+OD=

3

2

+r，
又AB=

3 5

2

，∴BF=BE=AF-AB=

3

2

+r-

3 5

2

，
又BF=BE=OB-OE=3-r，
∴

3

2

+r-

3 5

2

=3-r，解得：r=

3 5 +3

4

，
則此時圓心C坐標(biāo)為（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

），
綜上，所求圓心的坐標(biāo)為（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）．
故答案為：（-

9-3 5

4

，-

9-3 5

4

）或（-

9+3 5

4

，-

9+3 5

4

）或（-

3 5 -3

4

，

3 5 -3

4

）或（

3 5 +3

4

，-

3 5 +3

4

）

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，利用了等量代換、分類討論及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，集中了函數(shù)與圓，以及三角形、四邊形的綜合性題，要求學(xué)生對所學(xué)知識融匯貫穿，靈活運用，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題，解決問題的能力．