Question

【題目】已知：AB＝AC，PA＝PC，若PA為△ABC的外接圓⊙O的切線

(1) 求證：PC為⊙O的切線；

(2) 連接BP，若sin∠BAC＝，求tan∠BPC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1) 連接OA、OC, 證明△OAP≌△OCP，即可求出 即可證明.

連接AO，并延長(zhǎng)交BC于D，連接OB、OC,得到BC∥PA,根據(jù)sin∠BAC＝sin∠BOD＝，設(shè)BD＝3，OB＝5，則OD＝4, 根據(jù)sin∠APC＝sin∠PCE＝，

求出PC＝15，CE＝12, 過點(diǎn)C作CF⊥BP于F ,證明△BCF∽△BPE，求出的長(zhǎng)即可求解.

詳解：(1) 連接OA、OC,

∵PA為⊙O的切線,

∴∠OCP＝90°,

連接OP,

可證：△OAP≌△OCP（SSS）,

∴∠OAP＝∠OCP＝90°，

∴PC為⊙O的切線,

(2) 連接AO，并延長(zhǎng)交BC于D，連接OB、OC,

∵AB＝AC，OB＝OC∴AD為線段BC的垂直平分線,

∴AD⊥BC∵AD⊥AP,

∴BC∥PA,

∵sin∠BAC＝sin∠BOD＝∴設(shè)BD＝3，OB＝5，則OD＝4,

∵∠PAC＝∠ACB，且AB＝AC，PA＝PC,

∴∠BAC＝∠APC過點(diǎn)P作PE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于E,

∴四邊形APED為矩形 ,

∴PE＝AD＝9 ,

∴sin∠APC＝sin∠PCE＝，PC＝15，CE＝12,

過點(diǎn)C作CF⊥BP于F ,

∵△BCF∽△BPE

∴，CF＝，BF＝，PF＝∴tan∠BPC＝.