Question

如圖，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交BC于E，延長BC到F，使CE=CF，連接DF．
（1）試探究：①BE與DF有何位置關系和數(shù)量關系？②BD，BC，CE有何數(shù)量關系？
（2）請你對（1）中探究的結(jié)論選擇①或②中的一個______加以證明？

Answer 1

【答案】分析：（1）①延長BE交DF于G，先證△BCE≌△DCF，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及題意條件可證明△BFG≌△BDG，從而得出DG=FG，然后可得出結(jié)論．
②作EP⊥BD于P，可證△BCE≌△BPE，得出BP=BC，EP=EC，然后可判斷出三條線段之間的關系．
（2）根據(jù)（1）所分析，可選擇①或②進行證明．
解答：解：（1）①BE=DF，BE垂直平分DF，
②BD=BC+CE．
（2）證明（1）中探究的結(jié)論①，

延長BE交DF于G，
在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，則∠DCF=90°，
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠F=∠BEC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠F=90°，
∴∠BGF=90°，即BE⊥DF，
由∠BGF=90°知∠BGD=90°，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BFG≌△BDG，
∴DG=FG，
綜上可得BE=DF，BE垂直平分DF；
證明（1）中探究的結(jié)論②，
作EP⊥BD于P，

則∠BPE=∠DPE=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠BDC=45°，
∵∠EBP=∠EBC，BE=BE，∠BPE=∠BCD，
∴△BCE≌△BPE，
∴BP=BC，EP=EC，
∵∠DEP=180°-∠DPE-∠BDC=180°-90°-45°=45^°，
∴∠DEP=∠BDC，
∴DP=EP，
∴BP+DP=BC+EP=BC+EC即BD=BC+CE．
點評：本題考查正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度較大，證明三角形的全等在本題中起到了關鍵的作用，注意掌握全等三角形的幾種判定方法．