Question

如圖(a)，已知直線EA與兩坐標(biāo)軸軸分別交于點(diǎn)E、A(0,2)，過(guò)直線EA上的兩個(gè)點(diǎn)F、G分別作軸的垂線，垂足分別為M(m，0)、N(n，0)，其中m＜0，n＞0． (1) 如果m=－4，n=1，試計(jì)算線段AN和AM的長(zhǎng)，并判斷△AMN的形狀； (2) 如果mn=－4，(1)中有關(guān)△AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3) 如圖(b)，題目中的條件不變，如果mn=－4，并且ON=4，求經(jīng)過(guò)M、A、N三點(diǎn)的拋物線方程； (4) 在(3)中，如果拋物線的對(duì)稱軸與線段AN交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)M、A、N為頂點(diǎn)的三角形相似，求符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：△AMN是直角三角形 　　依題意得OA=2，OM=4，ON=1，∴MN=OM+ON=4+1=5 　　在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴MN2=AM2+AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(2)	答：(1)中的結(jié)論還成立 　　依題意得OA=2，OM=－m，ON=n 　　∴MN=OM+ON=n－m 　　∴MN2=(n－m)2=n2－2mn+m2 　　∵mn=－4 　　∴MN2=n2－2×(－4)+m2=n2+m2+8 　　又∵在Rt△AOM中，AM=== 　　在Rt△AON中，AN=== 　　∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8 　　∴MN2=AM2+AN2 　　∴△AMN是直角三角形
(3)	∵mn=－4，n=4 　　∴ 　　設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x–4)． 　　∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，2)　∴–4a=2　解得a=– 　　∴所求拋物線的解析式為y=–(x+1)(x–4) 　　即y=–x2+x+2
(4)	拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)Q1符合條件， 　　∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1，∴Rt△PNQ1∽R(shí)t△ANM 　　∵拋物線的對(duì)稱軸為x=，∴該點(diǎn)坐標(biāo)為Q1(，0) 　　∴NQ1=4–= 　　過(guò)點(diǎn)N作NQ2⊥AN，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q2 　　∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM兩兩相似 　　∴即Q1Q2= 　　∵點(diǎn)Q2位于第四象限，∴Q2(，) 　　因此，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分別是Q1(，0)，Q2(，)