Question

已知，CD是⊙O的弦，A為的中點，E為CD延長線上一點，EG切⊙O于G，AG交CD于K
（1）如圖1，求證：KE=GE；
（2）如圖2，AC∥EG，，AK=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OA，OG，
∵A為的中點，EG切⊙O于G，
∴OA⊥CD，OG⊥FG，
∴∠A+∠AKC=90°，∠AGO+∠EGK=90°，
∵OA=OC，∠AKC=∠EKG，
∴∠A=∠AGO，∠A+∠EKG=90°，
∴∠EKG=∠EGK，
∴KE=GE；

（2）解：連接OA，OG，OC，設OA與CD交于點F，
∵AC∥EG，
∴∠CAK=∠EGK，
∵∠AKC=∠EKG，∠EKG=∠EGK，
∴∠CAK=∠CKA，
∴AC=KC，
∵，
設DK=3x，CK=5x，則AC=5x，CD=DK+CK=8x，
∴CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，
在Rt△ACF中，AF==3x，
在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，
∴（3x）²+x²=（2）²，
解得：x=2，
∴AF=3x=6，CF=4x=8，
設⊙O的半徑為y，
則OF=y-6，
在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，
∴y²=64+（y-6）²，
解得：y=，
∴⊙O的半徑為：．
分析：（1）首先連接OA，OG，由A為的中點，EG切⊙O于G，可得OA⊥CD，OG⊥FG，即可證得∠EKG=∠EGK，繼而可得KE=GE；
（2）首先連接OA，OG，OC，設OA與CD交于點F，易得AC=KC，設DK=3x，CK=5x，則AC=5x，CD=DK+CK=8x，可得CF=DF=4x，FK=DF-DK=x，即可得AF=3x，然后由在Rt△AKF中，AF²+FK²=AK²，得到方程（3x）²+x²=（2）²，即可求得x的值，再設⊙O的半徑為y，由在Rt△OCF中，OC²=OF²+CF²，可得方程y²=64+（y-6）²，繼而求得答案．
點評：此題考查了切線的性質、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．