Question

（2008•上海）在△ABC中，AB=AC=5，cosB=

3

5

（如圖）．如果圓O的半徑為

10

，且經過點B，C，那么線段AO的長等于

3或5

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：（i）如圖1所示，由AB=AC，OB=OC，利用線段垂直平分線逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用銳角三角函數定義求出BD的長，再利用勾股定理求出AD的長，在直角三角形OBD中，由OB與BD的長，利用勾股定理求出OD的長，由AD+DO即可求出AO的長；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的長，綜上，得到所有滿足題意的AO的長．

解答：解：分兩種情況考慮：

（i）如圖1所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OA⊥BC，D為BC的中點，
在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=

3

5

，
∴BD=3，
根據勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=4，
在Rt△BDO中，OB=

10

，BD=3，
根據勾股定理得：OD=

OB2-BD2

=1，
則AO=AD+OD=4+1=5；
（ii）如圖2所示，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴OD⊥BC，D為BC的中點，
在Rt△ABD中，AB=5，cos∠ABC=

3

5

，
∴BD=3，
根據勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=4，
在Rt△BDO中，OB=

10

，BD=3，
根據勾股定理得：OD=

OB2-BD2

=1，
則OA=AD-OD=4-1=3，
綜上，OA的長為3或5．
故答案為：3或5

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，以及直角三角形的性質，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．