Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，P是其對(duì)稱(chēng)軸x=1上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①2a+b=0，②x=3是ax²+bx+3=0的一個(gè)根，③△PAB周長(zhǎng)的最小值是+3．其中正確的是

1. A.
   ①②③
2. B.
   僅有①②
3. C.
   僅有①③
4. D.
   僅有②③

Answer 1

A
分析：①根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3；
③利用兩點(diǎn)間直線(xiàn)最短來(lái)求△PAB周長(zhǎng)的最小值．
解答：解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0．
故①正確；
②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱(chēng)軸是x=1，則根據(jù)拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；
③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是A′，即拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
連接BA′與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
則△PAB周長(zhǎng)的最小值是（BA′+AB）的長(zhǎng)度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周長(zhǎng)的最小值是3+．
故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間直線(xiàn)最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性．