Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD． 一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線PM，使PM⊥AD ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E，求△APE的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng)，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)． 過Q作直線QN，使QN∥PM． 設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm² ．

① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

② 求S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①②

【解析】(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．

∴ S_ΔAPE=．                                  ……………………………4分

(2) ① 當(dāng)0≤t≤6時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)PM與AD交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=．

∴ 此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．……………………2分

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng)． 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與AD交于點(diǎn)F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．

……………………………2分

當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng)． 設(shè)PM與DC交于點(diǎn)G，QN與DC交于點(diǎn)F，則CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=．

∴ 此時(shí)兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．

……………………………2分

故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為

②當(dāng)0≤t≤6時(shí)，S的最大值為；              …………………………1分

當(dāng)6≤t≤8時(shí)，S的最大值為；                …………………………1分

當(dāng)8≤t≤10時(shí)，S的最大值為；               …………………………1分

所以當(dāng)t=8時(shí)，S有最大值為 ．                …………………………1分

（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數(shù)可求出AE和PE，即可求出面積；

（2）①此題應(yīng)分情況討論，因?yàn)閮蓚�(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不同，所以有點(diǎn)P與點(diǎn)Q都在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)Q仍在AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)P和點(diǎn)Q都在BC上運(yùn)動(dòng)三種情況，在每種情況下可利用三角函數(shù)分別求出我們所需要的值，進(jìn)而求解．

②在①的基礎(chǔ)上，首先①求出函數(shù)關(guān)系式之后，根據(jù)t的取值范圍不同函數(shù)最大值也不同．